Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28310 / 22067
↖ ↑ ↗
← N 50.558815°
W 24.488526°		 ← 388.07 m → N 50.558815°
W 24.483032°		 →
↑
387.99 m
↓
↑
387.99 m
↓
N 50.555325°
W 24.488526°		 ← 388.09 m →
150 573 m²		 N 50.555325°
W 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431983947753906 y=0.336723327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431983947753906 × 216)
    floor (0.431983947753906 × 65536)
    floor (28310.5)     		tx = 28310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336723327636719 × 216)
    floor (0.336723327636719 × 65536)
    floor (22067.5)     		ty = 22067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28310 / 22067 ti = "16/28310/22067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28310/22067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28310 ÷ 216
    28310 ÷ 65536     		x = 0.431976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22067 ÷ 216
    22067 ÷ 65536     		y = 0.336715698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431976318359375 × 2 - 1) × π
    -0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336715698242188 × 2 - 1) × π
    0.326568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02594552566844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42740540} λ = -0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02594552566844))-π/2
    2×atan(2.78973197711482)-π/2
    2×1.22660705582768-π/2
    2.45321411165535-1.57079632675     		φ = 0.88241778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88241778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.558815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28310 KachelY 22067 -0.42740540 0.88241778 -24.488526 50.558815
    Oben rechts KachelX + 1 28311 KachelY 22067 -0.42730952 0.88241778 -24.483032 50.558815
    Unten links KachelX 28310 KachelY + 1 22068 -0.42740540 0.88235688 -24.488526 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 28311 KachelY + 1 22068 -0.42730952 0.88235688 -24.483032 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88241778-0.88235688) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dl = 387.993900000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88241778-0.88235688) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dr = 387.993900000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42740540--0.42730952) × cos(0.88241778) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		do = 388.065275235815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42740540--0.42730952) × cos(0.88235688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 388.09400388528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88241778)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635285806683885-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.42730952--0.42740540)×4.70304982553849e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70304982553849e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70304982553849e-05×40589641000000     		ar = 150572.532910509m²