Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28307 / 21421
↖ ↑ ↗
← N 52.759568°
W 24.505005°		 ← 369.66 m → N 52.759568°
W 24.499511°		 →
↑
369.65 m
↓
↑
369.65 m
↓
N 52.756243°
W 24.505005°		 ← 369.69 m →
136 650 m²		 N 52.756243°
W 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431938171386719 y=0.326866149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431938171386719 × 216)
    floor (0.431938171386719 × 65536)
    floor (28307.5)     		tx = 28307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326866149902344 × 216)
    floor (0.326866149902344 × 65536)
    floor (21421.5)     		ty = 21421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28307 / 21421 ti = "16/28307/21421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28307/21421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28307 ÷ 216
    28307 ÷ 65536     		x = 0.431930541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21421 ÷ 216
    21421 ÷ 65536     		y = 0.326858520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431930541992188 × 2 - 1) × π
    -0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326858520507812 × 2 - 1) × π
    0.346282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08787999997755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42769302} λ = -0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08787999997755))-π/2
    2×atan(2.9679752905306)-π/2
    2×1.24581224679729-π/2
    2.49162449359458-1.57079632675     		φ = 0.92082817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92082817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.759568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28307 KachelY 21421 -0.42769302 0.92082817 -24.505005 52.759568
    Oben rechts KachelX + 1 28308 KachelY 21421 -0.42759714 0.92082817 -24.499511 52.759568
    Unten links KachelX 28307 KachelY + 1 21422 -0.42769302 0.92077015 -24.505005 52.756243
    Unten rechts KachelX + 1 28308 KachelY + 1 21422 -0.42759714 0.92077015 -24.499511 52.756243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92082817-0.92077015) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dl = 369.645419999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92082817-0.92077015) × R
    5.8019999999992e-05 × 6371000     		dr = 369.645419999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42769302--0.42759714) × cos(0.92082817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605161055569541 × 6371000     		do = 369.663526432988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42769302--0.42759714) × cos(0.92077015) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605207244451008 × 6371000     		du = 369.691740979592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92082817)-sin(0.92077015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605161055569541-0.605207244451008)×R²
    abs(-0.42759714--0.42769302)×4.61888814672351e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61888814672351e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61888814672351e-05×40589641000000     		ar = 136649.644214073m²