Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28305 / 8032
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W 24.515991°		 ← 113.05 m → N 79.335219°
W 24.510498°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 79.334203°
W 24.515991°		 ← 113.06 m →
12 777 m²		 N 79.334203°
W 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431907653808594 y=0.122566223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431907653808594 × 216)
    floor (0.431907653808594 × 65536)
    floor (28305.5)     		tx = 28305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122566223144531 × 216)
    floor (0.122566223144531 × 65536)
    floor (8032.5)     		ty = 8032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28305 / 8032 ti = "16/28305/8032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28305/8032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28305 ÷ 216
    28305 ÷ 65536     		x = 0.431900024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8032 ÷ 216
    8032 ÷ 65536     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431900024414062 × 2 - 1) × π
    -0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42788477} λ = -0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28305 KachelY 8032 -0.42788477 1.38466079 -24.515991 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 28306 KachelY 8032 -0.42778889 1.38466079 -24.510498 79.335219
    Unten links KachelX 28305 KachelY + 1 8033 -0.42788477 1.38464305 -24.515991 79.334203
    Unten rechts KachelX + 1 28306 KachelY + 1 8033 -0.42778889 1.38464305 -24.510498 79.334203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38464305) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38464305) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42788477--0.42778889) × cos(1.38466079) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 113.045747815201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42788477--0.42778889) × cos(1.38464305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		du = 113.056397120882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38464305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185080008516678)×R²
    abs(-0.42778889--0.42788477)×1.7433543226919e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.7433543226919e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.7433543226919e-05×40589641000000     		ar = 12777.2063093522m²