Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28305 / 22160
↖ ↑ ↗
← N 75.748125°
W102.257996°		 ← 75.19 m → N 75.748125°
W102.255249°		 →
↑
75.18 m
↓
↑
75.18 m
↓
N 75.747449°
W102.257996°		 ← 75.19 m →
5 653 m²		 N 75.747449°
W102.255249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215953826904297 y=0.169071197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215953826904297 × 217)
    floor (0.215953826904297 × 131072)
    floor (28305.5)     		tx = 28305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169071197509766 × 217)
    floor (0.169071197509766 × 131072)
    floor (22160.5)     		ty = 22160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28305 / 22160 ti = "17/28305/22160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28305/22160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28305 ÷ 217
    28305 ÷ 131072     		x = 0.215950012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22160 ÷ 217
    22160 ÷ 131072     		y = 0.1690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215950012207031 × 2 - 1) × π
    -0.568099975585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.78473871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1690673828125 × 2 - 1) × π
    0.661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07931095791956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78473871} λ = -1.78473871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07931095791956))-π/2
    2×atan(7.99895539812326)-π/2
    2×1.4464252593836-π/2
    2.89285051876721-1.57079632675     		φ = 1.32205419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78473871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.257996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32205419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.748125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28305 KachelY 22160 -1.78473871 1.32205419 -102.257996 75.748125
    Oben rechts KachelX + 1 28306 KachelY 22160 -1.78469077 1.32205419 -102.255249 75.748125
    Unten links KachelX 28305 KachelY + 1 22161 -1.78473871 1.32204239 -102.257996 75.747449
    Unten rechts KachelX + 1 28306 KachelY + 1 22161 -1.78469077 1.32204239 -102.255249 75.747449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32205419-1.32204239) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dl = 75.1778000000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32205419-1.32204239) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dr = 75.1778000000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78473871--1.78469077) × cos(1.32205419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246185004567975 × 6371000     		do = 75.1912371970279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78473871--1.78469077) × cos(1.32204239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24619644138053 × 6371000     		du = 75.1947302939657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32205419)-sin(1.32204239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246185004567975-0.24619644138053)×R²
    abs(-1.78469077--1.78473871)×1.14368125546382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14368125546382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14368125546382e-05×40589641000000     		ar = 5652.84309349254m²