Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28304 / 7086
↖ ↑ ↗
← N 80.255251°
W 24.521484°		 ← 103.38 m → N 80.255251°
W 24.515991°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 80.254321°
W 24.521484°		 ← 103.39 m →
10 690 m²		 N 80.254321°
W 24.515991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431892395019531 y=0.108131408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431892395019531 × 216)
    floor (0.431892395019531 × 65536)
    floor (28304.5)     		tx = 28304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108131408691406 × 216)
    floor (0.108131408691406 × 65536)
    floor (7086.5)     		ty = 7086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28304 / 7086 ti = "16/28304/7086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28304/7086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28304 ÷ 216
    28304 ÷ 65536     		x = 0.431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7086 ÷ 216
    7086 ÷ 65536     		y = 0.108123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108123779296875 × 2 - 1) × π
    0.78375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46223091208456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42798064} λ = -0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46223091208456))-π/2
    2×atan(11.7309530944056)-π/2
    2×1.48575734605063-π/2
    2.97151469210126-1.57079632675     		φ = 1.40071837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40071837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.255251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28304 KachelY 7086 -0.42798064 1.40071837 -24.521484 80.255251
    Oben rechts KachelX + 1 28305 KachelY 7086 -0.42788477 1.40071837 -24.515991 80.255251
    Unten links KachelX 28304 KachelY + 1 7087 -0.42798064 1.40070214 -24.521484 80.254321
    Unten rechts KachelX + 1 28305 KachelY + 1 7087 -0.42788477 1.40070214 -24.515991 80.254321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40071837-1.40070214) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40071837-1.40070214) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42798064--0.42788477) × cos(1.40071837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169259181582363 × 6371000     		do = 103.381438070714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42798064--0.42788477) × cos(1.40070214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169275177386732 × 6371000     		du = 103.391208112394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40071837)-sin(1.40070214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169259181582363-0.169275177386732)×R²
    abs(-0.42788477--0.42798064)×1.59958043692288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59958043692288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59958043692288e-05×40589641000000     		ar = 10690.2833121446m²