Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28304 / 22156
↖ ↑ ↗
← N 75.750830°
W102.260742°		 ← 75.18 m → N 75.750830°
W102.257996°		 →
↑
75.18 m
↓
↑
75.18 m
↓
N 75.750154°
W102.260742°		 ← 75.18 m →
5 652 m²		 N 75.750154°
W102.257996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215946197509766 y=0.169040679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215946197509766 × 217)
    floor (0.215946197509766 × 131072)
    floor (28304.5)     		tx = 28304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169040679931641 × 217)
    floor (0.169040679931641 × 131072)
    floor (22156.5)     		ty = 22156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28304 / 22156 ti = "17/28304/22156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28304/22156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28304 ÷ 217
    28304 ÷ 131072     		x = 0.2159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22156 ÷ 217
    22156 ÷ 131072     		y = 0.169036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169036865234375 × 2 - 1) × π
    0.66192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07950270551804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78478665} λ = -1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07950270551804))-π/2
    2×atan(8.00048932566996)-π/2
    2×1.44644885988202-π/2
    2.89289771976403-1.57079632675     		φ = 1.32210139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32210139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.750830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28304 KachelY 22156 -1.78478665 1.32210139 -102.260742 75.750830
    Oben rechts KachelX + 1 28305 KachelY 22156 -1.78473871 1.32210139 -102.257996 75.750830
    Unten links KachelX 28304 KachelY + 1 22157 -1.78478665 1.32208959 -102.260742 75.750154
    Unten rechts KachelX + 1 28305 KachelY + 1 22157 -1.78473871 1.32208959 -102.257996 75.750154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32210139-1.32208959) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dl = 75.1778000000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32210139-1.32208959) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dr = 75.1778000000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78478665--1.78473871) × cos(1.32210139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246139256974985 × 6371000     		do = 75.1772647045856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78478665--1.78473871) × cos(1.32208959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246150693924645 × 6371000     		du = 75.1807578433989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32210139)-sin(1.32208959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246139256974985-0.246150693924645)×R²
    abs(-1.78473871--1.78478665)×1.14369496602984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14369496602984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14369496602984e-05×40589641000000     		ar = 5651.79267369522m²