Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28303 / 43569
↖ ↑ ↗
← S 50.906497°
W 24.526977°		 ← 385.16 m → S 50.906497°
W 24.521484°		 →
↑
385.19 m
↓
↑
385.19 m
↓
S 50.909961°
W 24.526977°		 ← 385.13 m →
148 353 m²		 S 50.909961°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431877136230469 y=0.664817810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431877136230469 × 216)
    floor (0.431877136230469 × 65536)
    floor (28303.5)     		tx = 28303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664817810058594 × 216)
    floor (0.664817810058594 × 65536)
    floor (43569.5)     		ty = 43569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28303 / 43569 ti = "16/28303/43569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28303/43569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28303 ÷ 216
    28303 ÷ 65536     		x = 0.431869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43569 ÷ 216
    43569 ÷ 65536     		y = 0.664810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664810180664062 × 2 - 1) × π
    -0.329620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03553290559245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42807651} λ = -0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03553290559245))-π/2
    2×atan(0.355037129231092)-π/2
    2×0.341155172780934-π/2
    0.682310345561868-1.57079632675     		φ = -0.88848598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88848598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.906497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28303 KachelY 43569 -0.42807651 -0.88848598 -24.526977 -50.906497
    Oben rechts KachelX + 1 28304 KachelY 43569 -0.42798064 -0.88848598 -24.521484 -50.906497
    Unten links KachelX 28303 KachelY + 1 43570 -0.42807651 -0.88854644 -24.526977 -50.909961
    Unten rechts KachelX + 1 28304 KachelY + 1 43570 -0.42798064 -0.88854644 -24.521484 -50.909961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88848598--0.88854644) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dl = 385.190660000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88848598--0.88854644) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dr = 385.190660000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42807651--0.42798064) × cos(-0.88848598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630587806904628 × 6371000     		do = 385.15532036846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42807651--0.42798064) × cos(-0.88854644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		du = 385.126659004766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88848598)-sin(-0.88854644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630587806904628-0.630540881662994)×R²
    abs(-0.42798064--0.42807651)×4.6925241633522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6925241633522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6925241633522e-05×40589641000000     		ar = 148352.7120557m²