Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28303 / 22093
N 50.467994°
W 24.526977°
← 388.77 m → N 50.467994°
W 24.521484°

388.82 m

388.82 m
N 50.464498°
W 24.526977°
← 388.80 m →
151 169 m²
N 50.464498°
W 24.521484°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431877136230469 y=0.337120056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431877136230469 × 216)
    floor (0.431877136230469 × 65536)
    floor (28303.5)
    tx = 28303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337120056152344 × 216)
    floor (0.337120056152344 × 65536)
    floor (22093.5)
    ty = 22093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28303 / 22093 ti = "16/28303/22093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28303/22093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28303 ÷ 216
    28303 ÷ 65536
    x = 0.431869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22093 ÷ 216
    22093 ÷ 65536
    y = 0.337112426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.431869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.136260986328125 × 3.1415926535
    Λ = -0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.337112426757812 × 2 - 1) × π
    0.325775146484375 × 3.1415926535
    Φ = 1.0234528068882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42807651} λ = -0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0234528068882))-π/2
    2×atan(2.78278661983123)-π/2
    2×1.22581449911451-π/2
    2.45162899822902-1.57079632675
    φ = 0.88083267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88083267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.467994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28303 KachelY 22093 -0.42807651 0.88083267 -24.526977 50.467994
    Oben rechts KachelX + 1 28304 KachelY 22093 -0.42798064 0.88083267 -24.521484 50.467994
    Unten links KachelX 28303 KachelY + 1 22094 -0.42807651 0.88077164 -24.526977 50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 28304 KachelY + 1 22094 -0.42798064 0.88077164 -24.521484 50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.88083267-0.88077164) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000
    dl = 388.822130000111m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.88083267-0.88077164) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000
    dr = 388.822130000111m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42807651--0.42798064) × cos(0.88083267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636509152249488 × 6371000
    do = 388.772005687047m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42807651--0.42798064) × cos(0.88077164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636556221620188 × 6371000
    du = 388.800755083012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.88083267)-sin(0.88077164))×
    abs(λ12)×abs(0.636509152249488-0.636556221620188)×
    abs(-0.42798064--0.42807651)×4.70693707005365e-05×
    9.58699999999979e-05×4.70693707005365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70693707005365e-05×40589641000000
    ar = 151168.748583239m²