Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28302 / 43547
↖ ↑ ↗
← S 50.830228°
W 24.532471°		 ← 385.83 m → S 50.830228°
W 24.526977°		 →
↑
385.83 m
↓
↑
385.83 m
↓
S 50.833698°
W 24.532471°		 ← 385.80 m →
148 857 m²		 S 50.833698°
W 24.526977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431861877441406 y=0.664482116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431861877441406 × 216)
    floor (0.431861877441406 × 65536)
    floor (28302.5)     		tx = 28302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664482116699219 × 216)
    floor (0.664482116699219 × 65536)
    floor (43547.5)     		ty = 43547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28302 / 43547 ti = "16/28302/43547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28302/43547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28302 ÷ 216
    28302 ÷ 65536     		x = 0.431854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43547 ÷ 216
    43547 ÷ 65536     		y = 0.664474487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664474487304688 × 2 - 1) × π
    -0.328948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03342368200917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42817239} λ = -0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03342368200917))-π/2
    2×atan(0.355786772221425)-π/2
    2×0.34182074254272-π/2
    0.68364148508544-1.57079632675     		φ = -0.88715484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88715484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.830228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28302 KachelY 43547 -0.42817239 -0.88715484 -24.532471 -50.830228
    Oben rechts KachelX + 1 28303 KachelY 43547 -0.42807651 -0.88715484 -24.526977 -50.830228
    Unten links KachelX 28302 KachelY + 1 43548 -0.42817239 -0.88721540 -24.532471 -50.833698
    Unten rechts KachelX + 1 28303 KachelY + 1 43548 -0.42807651 -0.88721540 -24.526977 -50.833698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88715484--0.88721540) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dl = 385.827759999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88715484--0.88721540) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dr = 385.827759999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42817239--0.42807651) × cos(-0.88715484) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631620369520914 × 6371000     		do = 385.826237519968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42817239--0.42807651) × cos(-0.88721540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		du = 385.797556831417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88715484)-sin(-0.88721540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631620369520914-0.631573417537511)×R²
    abs(-0.42807651--0.42817239)×4.69519834035426e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69519834035426e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69519834035426e-05×40589641000000     		ar = 148856.940114425m²