Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28301 / 22158
↖ ↑ ↗
← N 75.749478°
W102.268982°		 ← 75.18 m → N 75.749478°
W102.266235°		 →
↑
75.18 m
↓
↑
75.18 m
↓
N 75.748801°
W102.268982°		 ← 75.19 m →
5 652 m²		 N 75.748801°
W102.266235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215923309326172 y=0.169055938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215923309326172 × 217)
    floor (0.215923309326172 × 131072)
    floor (28301.5)     		tx = 28301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169055938720703 × 217)
    floor (0.169055938720703 × 131072)
    floor (22158.5)     		ty = 22158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28301 / 22158 ti = "17/28301/22158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28301/22158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28301 ÷ 217
    28301 ÷ 131072     		x = 0.215919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22158 ÷ 217
    22158 ÷ 131072     		y = 0.169052124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.568161010742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.78493046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169052124023438 × 2 - 1) × π
    0.661895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0794068317188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78493046} λ = -1.78493046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0794068317188))-π/2
    2×atan(7.99972232513075)-π/2
    2×1.44643706018107-π/2
    2.89287412036214-1.57079632675     		φ = 1.32207779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78493046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32207779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.749478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28301 KachelY 22158 -1.78493046 1.32207779 -102.268982 75.749478
    Oben rechts KachelX + 1 28302 KachelY 22158 -1.78488252 1.32207779 -102.266235 75.749478
    Unten links KachelX 28301 KachelY + 1 22159 -1.78493046 1.32206599 -102.268982 75.748801
    Unten rechts KachelX + 1 28302 KachelY + 1 22159 -1.78488252 1.32206599 -102.266235 75.748801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32207779-1.32206599) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dl = 75.1778000000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32207779-1.32206599) × R
    1.18000000000062e-05 × 6371000     		dr = 75.1778000000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78493046--1.78488252) × cos(1.32207779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246162130840031 × 6371000     		do = 75.1842509717441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78493046--1.78488252) × cos(1.32206599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.246173567721142 × 6371000     		du = 75.1877440896206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32207779)-sin(1.32206599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246162130840031-0.246173567721142)×R²
    abs(-1.78488252--1.78493046)×1.14368811106325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14368811106325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14368811106325e-05×40589641000000     		ar = 5652.31788510612m²