Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28301 / 15055
↖ ↑ ↗
← N 69.258095°
W 24.537964°		 ← 216.32 m → N 69.258095°
W 24.532471°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 69.256149°
W 24.537964°		 ← 216.34 m →
46 804 m²		 N 69.256149°
W 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431846618652344 y=0.229728698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431846618652344 × 216)
    floor (0.431846618652344 × 65536)
    floor (28301.5)     		tx = 28301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229728698730469 × 216)
    floor (0.229728698730469 × 65536)
    floor (15055.5)     		ty = 15055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28301 / 15055 ti = "16/28301/15055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28301/15055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28301 ÷ 216
    28301 ÷ 65536     		x = 0.431838989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15055 ÷ 216
    15055 ÷ 65536     		y = 0.229721069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431838989257812 × 2 - 1) × π
    -0.136322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42826826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229721069335938 × 2 - 1) × π
    0.540557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69821260594011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42826826} λ = -0.42826826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69821260594011))-π/2
    2×atan(5.46417202948978)-π/2
    2×1.38978905710164-π/2
    2.77957811420329-1.57079632675     		φ = 1.20878179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42826826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20878179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.258095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28301 KachelY 15055 -0.42826826 1.20878179 -24.537964 69.258095
    Oben rechts KachelX + 1 28302 KachelY 15055 -0.42817239 1.20878179 -24.532471 69.258095
    Unten links KachelX 28301 KachelY + 1 15056 -0.42826826 1.20874783 -24.537964 69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 28302 KachelY + 1 15056 -0.42817239 1.20874783 -24.532471 69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20878179-1.20874783) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dl = 216.35915999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20878179-1.20874783) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dr = 216.35915999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42826826--0.42817239) × cos(1.20878179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		do = 216.315934382678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42826826--0.42817239) × cos(1.20874783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 216.335332200321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20878179)-sin(1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354158915760023-0.354190674447077)×R²
    abs(-0.42817239--0.42826826)×3.17586870532405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17586870532405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17586870532405e-05×40589641000000     		ar = 46804.0323096762m²