Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28300 / 7046
↖ ↑ ↗
← N 80.292371°
W 24.543457°		 ← 103 m → N 80.292371°
W 24.537964°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
N 80.291445°
W 24.543457°		 ← 103.01 m →
10 612 m²		 N 80.291445°
W 24.537964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431831359863281 y=0.107521057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431831359863281 × 216)
    floor (0.431831359863281 × 65536)
    floor (28300.5)     		tx = 28300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107521057128906 × 216)
    floor (0.107521057128906 × 65536)
    floor (7046.5)     		ty = 7046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28300 / 7046 ti = "16/28300/7046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28300/7046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28300 ÷ 216
    28300 ÷ 65536     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7046 ÷ 216
    7046 ÷ 65536     		y = 0.107513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107513427734375 × 2 - 1) × π
    0.78497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46606586405417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46606586405417))-π/2
    2×atan(11.7760271091798)-π/2
    2×1.48608128388612-π/2
    2.97216256777225-1.57079632675     		φ = 1.40136624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40136624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.292371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28300 KachelY 7046 -0.42836414 1.40136624 -24.543457 80.292371
    Oben rechts KachelX + 1 28301 KachelY 7046 -0.42826826 1.40136624 -24.537964 80.292371
    Unten links KachelX 28300 KachelY + 1 7047 -0.42836414 1.40135007 -24.543457 80.291445
    Unten rechts KachelX + 1 28301 KachelY + 1 7047 -0.42826826 1.40135007 -24.537964 80.291445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40136624-1.40135007) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40136624-1.40135007) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42826826) × cos(1.40136624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16862062384869 × 6371000     		do = 103.002157636487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42826826) × cos(1.40135007) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168636562288837 × 6371000     		du = 103.01189365624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40136624)-sin(1.40135007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16862062384869-0.168636562288837)×R²
    abs(-0.42826826--0.42836414)×1.5938440146912e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.5938440146912e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.5938440146912e-05×40589641000000     		ar = 10611.6879857703m²