Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28300 / 20844
↖ ↑ ↗
← N 76.611271°
W102.271728°		 ← 70.71 m → N 76.611271°
W102.268982°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.610635°
W102.271728°		 ← 70.71 m →
5 000 m²		 N 76.610635°
W102.268982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215915679931641 y=0.159030914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215915679931641 × 217)
    floor (0.215915679931641 × 131072)
    floor (28300.5)     		tx = 28300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159030914306641 × 217)
    floor (0.159030914306641 × 131072)
    floor (20844.5)     		ty = 20844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28300 / 20844 ti = "17/28300/20844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28300/20844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28300 ÷ 217
    28300 ÷ 131072     		x = 0.215911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20844 ÷ 217
    20844 ÷ 131072     		y = 0.159027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.56817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78497839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159027099609375 × 2 - 1) × π
    0.68194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14239591781955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78497839} λ = -1.78497839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14239591781955))-π/2
    2×atan(8.51982599763217)-π/2
    2×1.45395762304179-π/2
    2.90791524608358-1.57079632675     		φ = 1.33711892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78497839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33711892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.611271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28300 KachelY 20844 -1.78497839 1.33711892 -102.271728 76.611271
    Oben rechts KachelX + 1 28301 KachelY 20844 -1.78493046 1.33711892 -102.268982 76.611271
    Unten links KachelX 28300 KachelY + 1 20845 -1.78497839 1.33710782 -102.271728 76.610635
    Unten rechts KachelX + 1 28301 KachelY + 1 20845 -1.78493046 1.33710782 -102.268982 76.610635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33711892-1.33710782) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33711892-1.33710782) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78497839--1.78493046) × cos(1.33711892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231556541377107 × 6371000     		do = 70.7085755347357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78497839--1.78493046) × cos(1.33710782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231567339680906 × 6371000     		du = 70.7118729267043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33711892)-sin(1.33710782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231556541377107-0.231567339680906)×R²
    abs(-1.78493046--1.78497839)×1.07983037987702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07983037987702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07983037987702e-05×40589641000000     		ar = 5000.49270826387m²