Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2830 / 5905
↖ ↑ ↗
← S 61.959616°
W 55.634766°		 ← 2 297.11 m → S 61.959616°
W 55.590820°		 →
↑
2 296.30 m
↓
↑
2 296.30 m
↓
S 61.980267°
W 55.634766°		 ← 2 295.56 m →
5 273 068 m²		 S 61.980267°
W 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34552001953125 y=0.72088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34552001953125 × 213)
    floor (0.34552001953125 × 8192)
    floor (2830.5)     		tx = 2830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72088623046875 × 213)
    floor (0.72088623046875 × 8192)
    floor (5905.5)     		ty = 5905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2830 / 5905 ti = "13/2830/5905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2830/5905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2830 ÷ 213
    2830 ÷ 8192     		x = 0.345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5905 ÷ 213
    5905 ÷ 8192     		y = 0.7208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38748562260291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97100984} λ = -0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38748562260291))-π/2
    2×atan(0.249702361946819)-π/2
    2×0.244698513582219-π/2
    0.489397027164437-1.57079632675     		φ = -1.08139930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08139930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.959616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2830 KachelY 5905 -0.97100984 -1.08139930 -55.634766 -61.959616
    Oben rechts KachelX + 1 2831 KachelY 5905 -0.97024285 -1.08139930 -55.590820 -61.959616
    Unten links KachelX 2830 KachelY + 1 5906 -0.97100984 -1.08175973 -55.634766 -61.980267
    Unten rechts KachelX + 1 2831 KachelY + 1 5906 -0.97024285 -1.08175973 -55.590820 -61.980267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08139930--1.08175973) × R
    0.000360429999999967 × 6371000     		dl = 2296.29952999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08139930--1.08175973) × R
    0.000360429999999967 × 6371000     		dr = 2296.29952999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97100984--0.97024285) × cos(-1.08139930) × R
    0.000766990000000023 × 0.470093779577375 × 6371000     		do = 2297.11009957565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97100984--0.97024285) × cos(-1.08175973) × R
    0.000766990000000023 × 0.46977562759401 × 6371000     		du = 2295.55545204374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08139930)-sin(-1.08175973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470093779577375-0.46977562759401)×R²
    abs(-0.97024285--0.97100984)×0.000318151983364379×R²
    0.000766990000000023×0.000318151983364379×6371000²
    0.000766990000000023×0.000318151983364379×40589641000000     		ar = 5273067.9308996m²