Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2830 / 5904
↖ ↑ ↗
← S 61.938950°
W 55.634766°		 ← 2 298.67 m → S 61.938950°
W 55.590820°		 →
↑
2 297.89 m
↓
↑
2 297.89 m
↓
S 61.959616°
W 55.634766°		 ← 2 297.11 m →
5 280 299 m²		 S 61.959616°
W 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34552001953125 y=0.72076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34552001953125 × 213)
    floor (0.34552001953125 × 8192)
    floor (2830.5)     		tx = 2830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72076416015625 × 213)
    floor (0.72076416015625 × 8192)
    floor (5904.5)     		ty = 5904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2830 / 5904 ti = "13/2830/5904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2830/5904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2830 ÷ 213
    2830 ÷ 8192     		x = 0.345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5904 ÷ 213
    5904 ÷ 8192     		y = 0.720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720703125 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97100984} λ = -0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38671863220898))-π/2
    2×atan(0.249893954725289)-π/2
    2×0.244878853319384-π/2
    0.489757706638767-1.57079632675     		φ = -1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2830 KachelY 5904 -0.97100984 -1.08103862 -55.634766 -61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 2831 KachelY 5904 -0.97024285 -1.08103862 -55.590820 -61.938950
    Unten links KachelX 2830 KachelY + 1 5905 -0.97100984 -1.08139930 -55.634766 -61.959616
    Unten rechts KachelX + 1 2831 KachelY + 1 5905 -0.97024285 -1.08139930 -55.590820 -61.959616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08103862--1.08139930) × R
    0.000360680000000002 × 6371000     		dl = 2297.89228000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08103862--1.08139930) × R
    0.000360680000000002 × 6371000     		dr = 2297.89228000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97100984--0.97024285) × cos(-1.08103862) × R
    0.000766990000000023 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 2298.66552670822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97100984--0.97024285) × cos(-1.08139930) × R
    0.000766990000000023 × 0.470093779577375 × 6371000     		du = 2297.11009957565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08103862)-sin(-1.08139930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.470093779577375)×R²
    abs(-0.97024285--0.97100984)×0.00031831152531353×R²
    0.000766990000000023×0.00031831152531353×6371000²
    0.000766990000000023×0.00031831152531353×40589641000000     		ar = 5280298.72336951m²