Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 283 / 817
↖ ↑ ↗
← S 72.501722°
W 80.507812°		 ← 11.754 km → S 72.501722°
W 80.156250°		 →
↑
11.720 km
↓
↑
11.720 km
↓
S 72.607120°
W 80.507812°		 ← 11.685 km →
137.352 km²		 S 72.607120°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27685546875 y=0.79833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27685546875 × 210)
    floor (0.27685546875 × 1024)
    floor (283.5)     		tx = 283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79833984375 × 210)
    floor (0.79833984375 × 1024)
    floor (817.5)     		ty = 817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 283 / 817 ti = "10/283/817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/283/817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 283 ÷ 210
    283 ÷ 1024     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 817 ÷ 210
    817 ÷ 1024     		y = 0.7978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7978515625 × 2 - 1) × π
    -0.595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87145656116699))-π/2
    2×atan(0.153899334687169)-π/2
    2×0.152701279206196-π/2
    0.305402558412392-1.57079632675     		φ = -1.26539377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26539377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.501722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 283 KachelY 817 -1.40512640 -1.26539377 -80.507812 -72.501722
    Oben rechts KachelX + 1 284 KachelY 817 -1.39899048 -1.26539377 -80.156250 -72.501722
    Unten links KachelX 283 KachelY + 1 818 -1.40512640 -1.26723331 -80.507812 -72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 284 KachelY + 1 818 -1.39899048 -1.26723331 -80.156250 -72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26539377--1.26723331) × R
    0.00183953999999997 × 6371000     		dl = 11719.7093399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26539377--1.26723331) × R
    0.00183953999999997 × 6371000     		dr = 11719.7093399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.39899048) × cos(-1.26539377) × R
    0.00613592000000018 × 0.300677128439388 × 6371000     		do = 11754.0541646046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.39899048) × cos(-1.26723331) × R
    0.00613592000000018 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 11685.4507365636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26539377)-sin(-1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300677128439388-0.298922203589153)×R²
    abs(-1.39899048--1.40512640)×0.00175492485023537×R²
    0.00613592000000018×0.00175492485023537×6371000²
    0.00613592000000018×0.00175492485023537×40589641000000     		ar = 137352130.989852m²