Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 283 / 802
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
W 80.507812°		 ← 12.827 km → S 70.844672°
W 80.156250°		 →
↑
12.790 km
↓
↑
12.790 km
↓
S 70.959697°
W 80.507812°		 ← 12.753 km →
163.588 km²		 S 70.959697°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27685546875 y=0.78369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27685546875 × 210)
    floor (0.27685546875 × 1024)
    floor (283.5)     		tx = 283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78369140625 × 210)
    floor (0.78369140625 × 1024)
    floor (802.5)     		ty = 802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 283 / 802 ti = "10/283/802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/283/802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 283 ÷ 210
    283 ÷ 1024     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 802 ÷ 210
    802 ÷ 1024     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 283 KachelY 802 -1.40512640 -1.23647279 -80.507812 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 284 KachelY 802 -1.39899048 -1.23647279 -80.156250 -70.844672
    Unten links KachelX 283 KachelY + 1 803 -1.40512640 -1.23848035 -80.507812 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 284 KachelY + 1 803 -1.39899048 -1.23848035 -80.156250 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23848035) × R
    0.0020075599999998 × 6371000     		dl = 12790.1647599987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23848035) × R
    0.0020075599999998 × 6371000     		dr = 12790.1647599987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.39899048) × cos(-1.23647279) × R
    0.00613592000000018 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 12827.249566789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.39899048) × cos(-1.23848035) × R
    0.00613592000000018 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 12753.0895502313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32623316950853)×R²
    abs(-1.39899048--1.40512640)×0.00189706636632153×R²
    0.00613592000000018×0.00189706636632153×6371000²
    0.00613592000000018×0.00189706636632153×40589641000000     		ar = 163588430.904155m²