Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 283 / 403
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
E 18.984375°		 ← 25.066 km → S 71.300793°
E 19.687500°		 →
↑
24.921 km
↓
↑
24.921 km
↓
S 71.524909°
E 18.984375°		 ← 24.776 km →
621.042 km²		 S 71.524909°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5537109375 y=0.7880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5537109375 × 29)
    floor (0.5537109375 × 512)
    floor (283.5)     		tx = 283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7880859375 × 29)
    floor (0.7880859375 × 512)
    floor (403.5)     		ty = 403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 283 / 403 ti = "9/283/403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/283/403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 283 ÷ 29
    283 ÷ 512     		x = 0.552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 403 ÷ 29
    403 ÷ 512     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552734375 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33133985} λ = 0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 283 KachelY 403 0.33133985 -1.24443360 18.984375 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 284 KachelY 403 0.34361170 -1.24443360 19.687500 -71.300793
    Unten links KachelX 283 KachelY + 1 404 0.33133985 -1.24834516 18.984375 -71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 284 KachelY + 1 404 0.34361170 -1.24834516 19.687500 -71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24834516) × R
    0.00391155999999993 × 6371000     		dl = 24920.5487599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24834516) × R
    0.00391155999999993 × 6371000     		dr = 24920.5487599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33133985-0.34361170) × cos(-1.24443360) × R
    0.01227185 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 25065.7668683334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33133985-0.34361170) × cos(-1.24834516) × R
    0.01227185 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 24775.8974748839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.316892347631675)×R²
    abs(0.34361170-0.33133985)×0.00370753038068072×R²
    0.01227185×0.00370753038068072×6371000²
    0.01227185×0.00370753038068072×40589641000000     		ar = 621041605.11619m²