Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28299 / 8020
↖ ↑ ↗
← N 79.347411°
W 24.548950°		 ← 112.91 m → N 79.347411°
W 24.543457°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 79.346396°
W 24.548950°		 ← 112.92 m →
12 747 m²		 N 79.346396°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431816101074219 y=0.122383117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431816101074219 × 216)
    floor (0.431816101074219 × 65536)
    floor (28299.5)     		tx = 28299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122383117675781 × 216)
    floor (0.122383117675781 × 65536)
    floor (8020.5)     		ty = 8020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28299 / 8020 ti = "16/28299/8020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28299/8020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28299 ÷ 216
    28299 ÷ 65536     		x = 0.431808471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8020 ÷ 216
    8020 ÷ 65536     		y = 0.12237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431808471679688 × 2 - 1) × π
    -0.136383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42846001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12237548828125 × 2 - 1) × π
    0.7552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3726847835943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42846001} λ = -0.42846001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3726847835943))-π/2
    2×atan(10.7261510556817)-π/2
    2×1.47783495339722-π/2
    2.95566990679443-1.57079632675     		φ = 1.38487358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42846001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.548950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38487358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.347411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28299 KachelY 8020 -0.42846001 1.38487358 -24.548950 79.347411
    Oben rechts KachelX + 1 28300 KachelY 8020 -0.42836414 1.38487358 -24.543457 79.347411
    Unten links KachelX 28299 KachelY + 1 8021 -0.42846001 1.38485586 -24.548950 79.346396
    Unten rechts KachelX + 1 28300 KachelY + 1 8021 -0.42836414 1.38485586 -24.543457 79.346396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38487358-1.38485586) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38487358-1.38485586) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42846001--0.42836414) × cos(1.38487358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184853456362481 × 6371000     		do = 112.90623038843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42846001--0.42836414) × cos(1.38485586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184870870948682 × 6371000     		du = 112.916867004701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38487358)-sin(1.38485586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184853456362481-0.184870870948682)×R²
    abs(-0.42836414--0.42846001)×1.74145862003594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74145862003594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74145862003594e-05×40589641000000     		ar = 12747.0499284577m²