Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28298 / 21562
↖ ↑ ↗
← N 52.288323°
W 24.554443°		 ← 373.61 m → N 52.288323°
W 24.548950°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
N 52.284962°
W 24.554443°		 ← 373.64 m →
139 609 m²		 N 52.284962°
W 24.548950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431800842285156 y=0.329017639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431800842285156 × 216)
    floor (0.431800842285156 × 65536)
    floor (28298.5)     		tx = 28298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329017639160156 × 216)
    floor (0.329017639160156 × 65536)
    floor (21562.5)     		ty = 21562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28298 / 21562 ti = "16/28298/21562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28298/21562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28298 ÷ 216
    28298 ÷ 65536     		x = 0.431793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21562 ÷ 216
    21562 ÷ 65536     		y = 0.329010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431793212890625 × 2 - 1) × π
    -0.13641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42855588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329010009765625 × 2 - 1) × π
    0.34197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0743617942847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42855588} λ = -0.42855588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0743617942847))-π/2
    2×atan(2.9281235588945)-π/2
    2×1.24169985812339-π/2
    2.48339971624678-1.57079632675     		φ = 0.91260339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42855588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91260339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.288323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28298 KachelY 21562 -0.42855588 0.91260339 -24.554443 52.288323
    Oben rechts KachelX + 1 28299 KachelY 21562 -0.42846001 0.91260339 -24.548950 52.288323
    Unten links KachelX 28298 KachelY + 1 21563 -0.42855588 0.91254474 -24.554443 52.284962
    Unten rechts KachelX + 1 28299 KachelY + 1 21563 -0.42846001 0.91254474 -24.548950 52.284962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dl = 373.659150000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dr = 373.659150000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42855588--0.42846001) × cos(0.91260339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611688285797177 × 6371000     		do = 373.611724017172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42855588--0.42846001) × cos(0.91254474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		du = 373.64006267464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91260339)-sin(0.91254474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611688285797177-0.611734682694527)×R²
    abs(-0.42846001--0.42855588)×4.63968973500872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63968973500872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63968973500872e-05×40589641000000     		ar = 139608.733765725m²