Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28297 / 8024
↖ ↑ ↗
← N 79.343349°
W 24.559937°		 ← 112.96 m → N 79.343349°
W 24.554443°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 79.342333°
W 24.559937°		 ← 112.97 m →
12 760 m²		 N 79.342333°
W 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431785583496094 y=0.122444152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431785583496094 × 216)
    floor (0.431785583496094 × 65536)
    floor (28297.5)     		tx = 28297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122444152832031 × 216)
    floor (0.122444152832031 × 65536)
    floor (8024.5)     		ty = 8024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28297 / 8024 ti = "16/28297/8024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28297/8024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28297 ÷ 216
    28297 ÷ 65536     		x = 0.431777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8024 ÷ 216
    8024 ÷ 65536     		y = 0.1224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431777954101562 × 2 - 1) × π
    -0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1224365234375 × 2 - 1) × π
    0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42865176} λ = -0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37230128839734))-π/2
    2×atan(10.722038416909)-π/2
    2×1.47779950151067-π/2
    2.95559900302135-1.57079632675     		φ = 1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28297 KachelY 8024 -0.42865176 1.38480268 -24.559937 79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 28298 KachelY 8024 -0.42855588 1.38480268 -24.554443 79.343349
    Unten links KachelX 28297 KachelY + 1 8025 -0.42865176 1.38478495 -24.559937 79.342333
    Unten rechts KachelX + 1 28298 KachelY + 1 8025 -0.42855588 1.38478495 -24.554443 79.342333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38480268-1.38478495) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38480268-1.38478495) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42865176--0.42855588) × cos(1.38480268) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 112.960570098697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42865176--0.42855588) × cos(1.38478495) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		du = 112.971213685695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38480268)-sin(1.38478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184940558195428)×R²
    abs(-0.42855588--0.42865176)×1.74241814024367e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.74241814024367e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.74241814024367e-05×40589641000000     		ar = 12760.3820125496m²