Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28297 / 21561
↖ ↑ ↗
← N 52.291682°
W 24.559937°		 ← 373.62 m → N 52.291682°
W 24.554443°		 →
↑
373.60 m
↓
↑
373.60 m
↓
N 52.288323°
W 24.559937°		 ← 373.65 m →
139 589 m²		 N 52.288323°
W 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431785583496094 y=0.329002380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431785583496094 × 216)
    floor (0.431785583496094 × 65536)
    floor (28297.5)     		tx = 28297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329002380371094 × 216)
    floor (0.329002380371094 × 65536)
    floor (21561.5)     		ty = 21561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28297 / 21561 ti = "16/28297/21561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28297/21561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28297 ÷ 216
    28297 ÷ 65536     		x = 0.431777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21561 ÷ 216
    21561 ÷ 65536     		y = 0.328994750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431777954101562 × 2 - 1) × π
    -0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328994750976562 × 2 - 1) × π
    0.342010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07445766808394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42865176} λ = -0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07445766808394))-π/2
    2×atan(2.9284043026825)-π/2
    2×1.24172917945139-π/2
    2.48345835890278-1.57079632675     		φ = 0.91266203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91266203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.291682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28297 KachelY 21561 -0.42865176 0.91266203 -24.559937 52.291682
    Oben rechts KachelX + 1 28298 KachelY 21561 -0.42855588 0.91266203 -24.554443 52.291682
    Unten links KachelX 28297 KachelY + 1 21562 -0.42865176 0.91260339 -24.559937 52.288323
    Unten rechts KachelX + 1 28298 KachelY + 1 21562 -0.42855588 0.91260339 -24.554443 52.288323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91266203-0.91260339) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dl = 373.595439999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91266203-0.91260339) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dr = 373.595439999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42865176--0.42855588) × cos(0.91266203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611641894707075 × 6371000     		do = 373.622356611792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42865176--0.42855588) × cos(0.91260339) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611688285797177 × 6371000     		du = 373.65069467784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91266203)-sin(0.91260339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611641894707075-0.611688285797177)×R²
    abs(-0.42855588--0.42865176)×4.63910901016273e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63910901016273e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63910901016273e-05×40589641000000     		ar = 139588.902238569m²