Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28296 / 7036
↖ ↑ ↗
← N 80.301630°
W 24.565430°		 ← 102.89 m → N 80.301630°
W 24.559937°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
N 80.300704°
W 24.565430°		 ← 102.90 m →
10 587 m²		 N 80.300704°
W 24.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431770324707031 y=0.107368469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431770324707031 × 216)
    floor (0.431770324707031 × 65536)
    floor (28296.5)     		tx = 28296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107368469238281 × 216)
    floor (0.107368469238281 × 65536)
    floor (7036.5)     		ty = 7036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28296 / 7036 ti = "16/28296/7036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28296/7036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28296 ÷ 216
    28296 ÷ 65536     		x = 0.4317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7036 ÷ 216
    7036 ÷ 65536     		y = 0.10736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10736083984375 × 2 - 1) × π
    0.7852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46702460204657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42874763} λ = -0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46702460204657))-π/2
    2×atan(11.7873226476347)-π/2
    2×1.48616207720325-π/2
    2.9723241544065-1.57079632675     		φ = 1.40152783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40152783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.301630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28296 KachelY 7036 -0.42874763 1.40152783 -24.565430 80.301630
    Oben rechts KachelX + 1 28297 KachelY 7036 -0.42865176 1.40152783 -24.559937 80.301630
    Unten links KachelX 28296 KachelY + 1 7037 -0.42874763 1.40151168 -24.565430 80.300704
    Unten rechts KachelX + 1 28297 KachelY + 1 7037 -0.42865176 1.40151168 -24.559937 80.300704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40152783-1.40151168) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40152783-1.40151168) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42874763--0.42865176) × cos(1.40152783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168461345450921 × 6371000     		do = 102.894129519166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42874763--0.42865176) × cos(1.40151168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16847726461736 × 6371000     		du = 102.903852751335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40152783)-sin(1.40151168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168461345450921-0.16847726461736)×R²
    abs(-0.42865176--0.42874763)×1.59191664393377e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59191664393377e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59191664393377e-05×40589641000000     		ar = 10587.4469813206m²