Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28294 / 7009
↖ ↑ ↗
← N 80.326583°
W 24.576416°		 ← 102.64 m → N 80.326583°
W 24.570923°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
N 80.325660°
W 24.576416°		 ← 102.65 m →
10 535 m²		 N 80.325660°
W 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431739807128906 y=0.106956481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431739807128906 × 216)
    floor (0.431739807128906 × 65536)
    floor (28294.5)     		tx = 28294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106956481933594 × 216)
    floor (0.106956481933594 × 65536)
    floor (7009.5)     		ty = 7009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28294 / 7009 ti = "16/28294/7009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28294/7009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28294 ÷ 216
    28294 ÷ 65536     		x = 0.431732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7009 ÷ 216
    7009 ÷ 65536     		y = 0.106948852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106948852539062 × 2 - 1) × π
    0.786102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46961319462605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42893938} λ = -0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46961319462605))-π/2
    2×atan(11.8178747499847)-π/2
    2×1.48637983815653-π/2
    2.97275967631306-1.57079632675     		φ = 1.40196335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40196335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.326583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28294 KachelY 7009 -0.42893938 1.40196335 -24.576416 80.326583
    Oben rechts KachelX + 1 28295 KachelY 7009 -0.42884350 1.40196335 -24.570923 80.326583
    Unten links KachelX 28294 KachelY + 1 7010 -0.42893938 1.40194724 -24.576416 80.325660
    Unten rechts KachelX + 1 28295 KachelY + 1 7010 -0.42884350 1.40194724 -24.570923 80.325660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40196335-1.40194724) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40196335-1.40194724) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(1.40196335) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168032033826142 × 6371000     		do = 102.642616550101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(1.40194724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168047914744873 × 6371000     		du = 102.652317432811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40196335)-sin(1.40194724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168032033826142-0.168047914744873)×R²
    abs(-0.42884350--0.42893938)×1.58809187303655e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58809187303655e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58809187303655e-05×40589641000000     		ar = 10535.4085666506m²