Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28294 / 43550
↖ ↑ ↗
← S 50.840636°
W 24.576416°		 ← 385.74 m → S 50.840636°
W 24.570923°		 →
↑
385.70 m
↓
↑
385.70 m
↓
S 50.844105°
W 24.576416°		 ← 385.71 m →
148 775 m²		 S 50.844105°
W 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431739807128906 y=0.664527893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431739807128906 × 216)
    floor (0.431739807128906 × 65536)
    floor (28294.5)     		tx = 28294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664527893066406 × 216)
    floor (0.664527893066406 × 65536)
    floor (43550.5)     		ty = 43550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28294 / 43550 ti = "16/28294/43550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28294/43550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28294 ÷ 216
    28294 ÷ 65536     		x = 0.431732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43550 ÷ 216
    43550 ÷ 65536     		y = 0.664520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.32904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03371130340689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42893938} λ = -0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03371130340689))-π/2
    2×atan(0.355684455047718)-π/2
    2×0.341729918903253-π/2
    0.683459837806507-1.57079632675     		φ = -0.88733649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88733649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.840636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28294 KachelY 43550 -0.42893938 -0.88733649 -24.576416 -50.840636
    Oben rechts KachelX + 1 28295 KachelY 43550 -0.42884350 -0.88733649 -24.570923 -50.840636
    Unten links KachelX 28294 KachelY + 1 43551 -0.42893938 -0.88739703 -24.576416 -50.844105
    Unten rechts KachelX + 1 28295 KachelY + 1 43551 -0.42884350 -0.88739703 -24.570923 -50.844105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88733649--0.88739703) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dl = 385.700339999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88733649--0.88739703) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dr = 385.700339999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(-0.88733649) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63147952988374 × 6371000     		do = 385.740205419157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(-0.88739703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631432586461704 × 6371000     		du = 385.71152996033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88733649)-sin(-0.88739703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63147952988374-0.631432586461704)×R²
    abs(-0.42884350--0.42893938)×4.69434220362608e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69434220362608e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69434220362608e-05×40589641000000     		ar = 148774.598359988m²