Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28294 / 14886
↖ ↑ ↗
← N 69.584396°
W 24.576416°		 ← 213.08 m → N 69.584396°
W 24.570923°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
N 69.582480°
W 24.576416°		 ← 213.10 m →
45 398 m²		 N 69.582480°
W 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431739807128906 y=0.227149963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431739807128906 × 216)
    floor (0.431739807128906 × 65536)
    floor (28294.5)     		tx = 28294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227149963378906 × 216)
    floor (0.227149963378906 × 65536)
    floor (14886.5)     		ty = 14886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28294 / 14886 ti = "16/28294/14886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28294/14886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28294 ÷ 216
    28294 ÷ 65536     		x = 0.431732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14886 ÷ 216
    14886 ÷ 65536     		y = 0.227142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227142333984375 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71441527801169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42893938} λ = -0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71441527801169))-π/2
    2×atan(5.55342735173544)-π/2
    2×1.39263657395813-π/2
    2.78527314791627-1.57079632675     		φ = 1.21447682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21447682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.584396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28294 KachelY 14886 -0.42893938 1.21447682 -24.576416 69.584396
    Oben rechts KachelX + 1 28295 KachelY 14886 -0.42884350 1.21447682 -24.570923 69.584396
    Unten links KachelX 28294 KachelY + 1 14887 -0.42893938 1.21444338 -24.576416 69.582480
    Unten rechts KachelX + 1 28295 KachelY + 1 14887 -0.42884350 1.21444338 -24.570923 69.582480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21447682-1.21444338) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21447682-1.21444338) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(1.21447682) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348827293195536 × 6371000     		do = 213.081668312871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42893938--0.42884350) × cos(1.21444338) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348858632534606 × 6371000     		du = 213.100811994524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21447682)-sin(1.21444338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348827293195536-0.348858632534606)×R²
    abs(-0.42884350--0.42893938)×3.13393390694583e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13393390694583e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13393390694583e-05×40589641000000     		ar = 45398.2874957098m²