Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28293 / 7043
↖ ↑ ↗
← N 80.295149°
W 24.581909°		 ← 102.96 m → N 80.295149°
W 24.576416°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
N 80.294223°
W 24.581909°		 ← 102.97 m →
10 601 m²		 N 80.294223°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431724548339844 y=0.107475280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431724548339844 × 216)
    floor (0.431724548339844 × 65536)
    floor (28293.5)     		tx = 28293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107475280761719 × 216)
    floor (0.107475280761719 × 65536)
    floor (7043.5)     		ty = 7043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28293 / 7043 ti = "16/28293/7043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28293/7043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28293 ÷ 216
    28293 ÷ 65536     		x = 0.431716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7043 ÷ 216
    7043 ÷ 65536     		y = 0.107467651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107467651367188 × 2 - 1) × π
    0.785064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46635348545189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42903525} λ = -0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46635348545189))-π/2
    2×atan(11.7794146336955)-π/2
    2×1.48610552989866-π/2
    2.97221105979733-1.57079632675     		φ = 1.40141473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40141473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.295149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28293 KachelY 7043 -0.42903525 1.40141473 -24.581909 80.295149
    Oben rechts KachelX + 1 28294 KachelY 7043 -0.42893938 1.40141473 -24.576416 80.295149
    Unten links KachelX 28293 KachelY + 1 7044 -0.42903525 1.40139857 -24.581909 80.294223
    Unten rechts KachelX + 1 28294 KachelY + 1 7044 -0.42893938 1.40139857 -24.576416 80.294223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40141473-1.40139857) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40141473-1.40139857) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42903525--0.42893938) × cos(1.40141473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168572827977516 × 6371000     		do = 102.962221682978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42903525--0.42893938) × cos(1.40139857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168588756692998 × 6371000     		du = 102.971950747586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40141473)-sin(1.40139857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168572827977516-0.168588756692998)×R²
    abs(-0.42893938--0.42903525)×1.59287154821164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59287154821164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59287154821164e-05×40589641000000     		ar = 10601.0134293132m²