Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28293 / 14715
↖ ↑ ↗
← N 69.909554°
W 24.581909°		 ← 209.81 m → N 69.909554°
W 24.576416°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
N 69.907667°
W 24.581909°		 ← 209.83 m →
44 019 m²		 N 69.907667°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431724548339844 y=0.224540710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431724548339844 × 216)
    floor (0.431724548339844 × 65536)
    floor (28293.5)     		tx = 28293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224540710449219 × 216)
    floor (0.224540710449219 × 65536)
    floor (14715.5)     		ty = 14715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28293 / 14715 ti = "16/28293/14715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28293/14715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28293 ÷ 216
    28293 ÷ 65536     		x = 0.431716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14715 ÷ 216
    14715 ÷ 65536     		y = 0.224533081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224533081054688 × 2 - 1) × π
    0.550933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73080969768175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42903525} λ = -0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73080969768175))-π/2
    2×atan(5.64522298235617)-π/2
    2×1.39547411434892-π/2
    2.79094822869785-1.57079632675     		φ = 1.22015190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22015190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.909554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28293 KachelY 14715 -0.42903525 1.22015190 -24.581909 69.909554
    Oben rechts KachelX + 1 28294 KachelY 14715 -0.42893938 1.22015190 -24.576416 69.909554
    Unten links KachelX 28293 KachelY + 1 14716 -0.42903525 1.22011897 -24.581909 69.907667
    Unten rechts KachelX + 1 28294 KachelY + 1 14716 -0.42893938 1.22011897 -24.576416 69.907667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22015190-1.22011897) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22015190-1.22011897) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42903525--0.42893938) × cos(1.22015190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343503093159797 × 6371000     		do = 209.80748825917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42903525--0.42893938) × cos(1.22011897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343534019233932 × 6371000     		du = 209.826377527026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22015190)-sin(1.22011897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343503093159797-0.343534019233932)×R²
    abs(-0.42893938--0.42903525)×3.09260741356288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09260741356288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09260741356288e-05×40589641000000     		ar = 44018.9693688954m²