Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28292 / 22404
↖ ↑ ↗
← N 49.368066°
W 24.587403°		 ← 397.78 m → N 49.368066°
W 24.581909°		 →
↑
397.74 m
↓
↑
397.74 m
↓
N 49.364489°
W 24.587403°		 ← 397.81 m →
158 221 m²		 N 49.364489°
W 24.581909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431709289550781 y=0.341865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431709289550781 × 216)
    floor (0.431709289550781 × 65536)
    floor (28292.5)     		tx = 28292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341865539550781 × 216)
    floor (0.341865539550781 × 65536)
    floor (22404.5)     		ty = 22404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28292 / 22404 ti = "16/28292/22404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28292/22404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28292 ÷ 216
    28292 ÷ 65536     		x = 0.43170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22404 ÷ 216
    22404 ÷ 65536     		y = 0.34185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34185791015625 × 2 - 1) × π
    0.3162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993636055324524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42913113} λ = -0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993636055324524))-π/2
    2×atan(2.7010377616324)-π/2
    2×1.216215814831-π/2
    2.43243162966201-1.57079632675     		φ = 0.86163530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86163530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.368066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28292 KachelY 22404 -0.42913113 0.86163530 -24.587403 49.368066
    Oben rechts KachelX + 1 28293 KachelY 22404 -0.42903525 0.86163530 -24.581909 49.368066
    Unten links KachelX 28292 KachelY + 1 22405 -0.42913113 0.86157287 -24.587403 49.364489
    Unten rechts KachelX + 1 28293 KachelY + 1 22405 -0.42903525 0.86157287 -24.581909 49.364489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86163530-0.86157287) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dl = 397.74152999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86163530-0.86157287) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dr = 397.74152999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42913113--0.42903525) × cos(0.86163530) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.651197296397375 × 6371000     		do = 397.784832276535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42913113--0.42903525) × cos(0.86157287) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		du = 397.813772823722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86163530)-sin(0.86157287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651197296397375-0.651244673784735)×R²
    abs(-0.42903525--0.42913113)×4.73773873593819e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73773873593819e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73773873593819e-05×40589641000000     		ar = 158221.303280214m²