Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28291 / 7019
↖ ↑ ↗
← N 80.317348°
W 24.592896°		 ← 102.73 m → N 80.317348°
W 24.587403°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.316424°
W 24.592896°		 ← 102.74 m →
10 551 m²		 N 80.316424°
W 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431694030761719 y=0.107109069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431694030761719 × 216)
    floor (0.431694030761719 × 65536)
    floor (28291.5)     		tx = 28291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107109069824219 × 216)
    floor (0.107109069824219 × 65536)
    floor (7019.5)     		ty = 7019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28291 / 7019 ti = "16/28291/7019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28291/7019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28291 ÷ 216
    28291 ÷ 65536     		x = 0.431686401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7019 ÷ 216
    7019 ÷ 65536     		y = 0.107101440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431686401367188 × 2 - 1) × π
    -0.136627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42922700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107101440429688 × 2 - 1) × π
    0.785797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46865445663365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42922700} λ = -0.42922700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46865445663365))-π/2
    2×atan(11.8065499341055)-π/2
    2×1.48629925073343-π/2
    2.97259850146685-1.57079632675     		φ = 1.40180217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42922700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.592896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40180217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.317348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28291 KachelY 7019 -0.42922700 1.40180217 -24.592896 80.317348
    Oben rechts KachelX + 1 28292 KachelY 7019 -0.42913113 1.40180217 -24.587403 80.317348
    Unten links KachelX 28291 KachelY + 1 7020 -0.42922700 1.40178605 -24.592896 80.316424
    Unten rechts KachelX + 1 28292 KachelY + 1 7020 -0.42913113 1.40178605 -24.587403 80.316424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40180217-1.40178605) × R
    1.61200000001749e-05 × 6371000     		dl = 102.700520001114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40180217-1.40178605) × R
    1.61200000001749e-05 × 6371000     		dr = 102.700520001114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42922700--0.42913113) × cos(1.40180217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168190919910684 × 6371000     		do = 102.728956906493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42922700--0.42913113) × cos(1.40178605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168206810250392 × 6371000     		du = 102.738662531648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40180217)-sin(1.40178605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168190919910684-0.168206810250392)×R²
    abs(-0.42913113--0.42922700)×1.58903397072807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58903397072807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58903397072807e-05×40589641000000     		ar = 10550.8156800357m²