Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28291 / 22406
↖ ↑ ↗
← N 49.360912°
W 24.592896°		 ← 397.80 m → N 49.360912°
W 24.587403°		 →
↑
397.87 m
↓
↑
397.87 m
↓
N 49.357334°
W 24.592896°		 ← 397.83 m →
158 279 m²		 N 49.357334°
W 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431694030761719 y=0.341896057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431694030761719 × 216)
    floor (0.431694030761719 × 65536)
    floor (28291.5)     		tx = 28291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341896057128906 × 216)
    floor (0.341896057128906 × 65536)
    floor (22406.5)     		ty = 22406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28291 / 22406 ti = "16/28291/22406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28291/22406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28291 ÷ 216
    28291 ÷ 65536     		x = 0.431686401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22406 ÷ 216
    22406 ÷ 65536     		y = 0.341888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431686401367188 × 2 - 1) × π
    -0.136627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42922700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341888427734375 × 2 - 1) × π
    0.31622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.993444307726044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42922700} λ = -0.42922700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993444307726044))-π/2
    2×atan(2.70051989377975)-π/2
    2×1.21615337752972-π/2
    2.43230675505944-1.57079632675     		φ = 0.86151043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42922700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.592896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86151043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.360912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28291 KachelY 22406 -0.42922700 0.86151043 -24.592896 49.360912
    Oben rechts KachelX + 1 28292 KachelY 22406 -0.42913113 0.86151043 -24.587403 49.360912
    Unten links KachelX 28291 KachelY + 1 22407 -0.42922700 0.86144798 -24.592896 49.357334
    Unten rechts KachelX + 1 28292 KachelY + 1 22407 -0.42913113 0.86144798 -24.587403 49.357334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86151043-0.86144798) × R
    6.24500000000472e-05 × 6371000     		dl = 397.868950000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86151043-0.86144798) × R
    6.24500000000472e-05 × 6371000     		dr = 397.868950000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42922700--0.42913113) × cos(0.86151043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651292056222137 × 6371000     		do = 397.801222638625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42922700--0.42913113) × cos(0.86144798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651339443708176 × 6371000     		du = 397.830166335549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86151043)-sin(0.86144798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651292056222137-0.651339443708176)×R²
    abs(-0.42913113--0.42922700)×4.73874860393853e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73874860393853e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73874860393853e-05×40589641000000     		ar = 158278.512710696m²