Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28290 / 20866
↖ ↑ ↗
← N 76.597272°
W102.299194°		 ← 70.78 m → N 76.597272°
W102.296448°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.596635°
W102.299194°		 ← 70.78 m →
5 010 m²		 N 76.596635°
W102.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215839385986328 y=0.159198760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215839385986328 × 217)
    floor (0.215839385986328 × 131072)
    floor (28290.5)     		tx = 28290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159198760986328 × 217)
    floor (0.159198760986328 × 131072)
    floor (20866.5)     		ty = 20866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28290 / 20866 ti = "17/28290/20866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28290/20866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28290 ÷ 217
    28290 ÷ 131072     		x = 0.215835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20866 ÷ 217
    20866 ÷ 131072     		y = 0.159194946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.568328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.78545776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159194946289062 × 2 - 1) × π
    0.681610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14134130602791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78545776} λ = -1.78545776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14134130602791))-π/2
    2×atan(8.51084562490815)-π/2
    2×1.45383545925697-π/2
    2.90767091851393-1.57079632675     		φ = 1.33687459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78545776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.299194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33687459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.597272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28290 KachelY 20866 -1.78545776 1.33687459 -102.299194 76.597272
    Oben rechts KachelX + 1 28291 KachelY 20866 -1.78540983 1.33687459 -102.296448 76.597272
    Unten links KachelX 28290 KachelY + 1 20867 -1.78545776 1.33686348 -102.299194 76.596635
    Unten rechts KachelX + 1 28291 KachelY + 1 20867 -1.78540983 1.33686348 -102.296448 76.596635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33687459-1.33686348) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33687459-1.33686348) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78545776--1.78540983) × cos(1.33687459) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.231794223927306 × 6371000     		do = 70.781154760432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78545776--1.78540983) × cos(1.33686348) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.231805031330394 × 6371000     		du = 70.7844549309781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33687459)-sin(1.33686348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231794223927306-0.231805031330394)×R²
    abs(-1.78540983--1.78545776)×1.08074030885086e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.08074030885086e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.08074030885086e-05×40589641000000     		ar = 5010.13504382099m²