Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28289 / 7983
↖ ↑ ↗
← N 79.384917°
W 24.603882°		 ← 112.53 m → N 79.384917°
W 24.598389°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.383905°
W 24.603882°		 ← 112.54 m →
12 661 m²		 N 79.383905°
W 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431663513183594 y=0.121818542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431663513183594 × 216)
    floor (0.431663513183594 × 65536)
    floor (28289.5)     		tx = 28289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121818542480469 × 216)
    floor (0.121818542480469 × 65536)
    floor (7983.5)     		ty = 7983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28289 / 7983 ti = "16/28289/7983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28289/7983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28289 ÷ 216
    28289 ÷ 65536     		x = 0.431655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7983 ÷ 216
    7983 ÷ 65536     		y = 0.121810913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121810913085938 × 2 - 1) × π
    0.756378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37623211416618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42941875} λ = -0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37623211416618))-π/2
    2×atan(10.7642678256615)-π/2
    2×1.47816225068954-π/2
    2.95632450137908-1.57079632675     		φ = 1.38552817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38552817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.384917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28289 KachelY 7983 -0.42941875 1.38552817 -24.603882 79.384917
    Oben rechts KachelX + 1 28290 KachelY 7983 -0.42932287 1.38552817 -24.598389 79.384917
    Unten links KachelX 28289 KachelY + 1 7984 -0.42941875 1.38551051 -24.603882 79.383905
    Unten rechts KachelX + 1 28290 KachelY + 1 7984 -0.42932287 1.38551051 -24.598389 79.383905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38552817-1.38551051) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38552817-1.38551051) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42941875--0.42932287) × cos(1.38552817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184210107945819 × 6371000     		do = 112.525017069655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42941875--0.42932287) × cos(1.38551051) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184227465699549 × 6371000     		du = 112.53562007921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38552817)-sin(1.38551051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184210107945819-0.184227465699549)×R²
    abs(-0.42932287--0.42941875)×1.73577537295189e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.73577537295189e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.73577537295189e-05×40589641000000     		ar = 12660.9954495366m²