Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28289 / 22407
↖ ↑ ↗
← N 49.357334°
W 24.603882°		 ← 397.87 m → N 49.357334°
W 24.598389°		 →
↑
397.81 m
↓
↑
397.81 m
↓
N 49.353756°
W 24.603882°		 ← 397.90 m →
158 281 m²		 N 49.353756°
W 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431663513183594 y=0.341911315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431663513183594 × 216)
    floor (0.431663513183594 × 65536)
    floor (28289.5)     		tx = 28289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341911315917969 × 216)
    floor (0.341911315917969 × 65536)
    floor (22407.5)     		ty = 22407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28289 / 22407 ti = "16/28289/22407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28289/22407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28289 ÷ 216
    28289 ÷ 65536     		x = 0.431655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22407 ÷ 216
    22407 ÷ 65536     		y = 0.341903686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341903686523438 × 2 - 1) × π
    0.316192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.993348433926804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42941875} λ = -0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993348433926804))-π/2
    2×atan(2.70026099708851)-π/2
    2×1.21612215547204-π/2
    2.43224431094408-1.57079632675     		φ = 0.86144798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86144798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.357334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28289 KachelY 22407 -0.42941875 0.86144798 -24.603882 49.357334
    Oben rechts KachelX + 1 28290 KachelY 22407 -0.42932287 0.86144798 -24.598389 49.357334
    Unten links KachelX 28289 KachelY + 1 22408 -0.42941875 0.86138554 -24.603882 49.353756
    Unten rechts KachelX + 1 28290 KachelY + 1 22408 -0.42932287 0.86138554 -24.598389 49.353756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86144798-0.86138554) × R
    6.24399999999969e-05 × 6371000     		dl = 397.805239999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86144798-0.86138554) × R
    6.24399999999969e-05 × 6371000     		dr = 397.805239999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42941875--0.42932287) × cos(0.86144798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651339443708176 × 6371000     		do = 397.871663171485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42941875--0.42932287) × cos(0.86138554) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651386821066532 × 6371000     		du = 397.900603700956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86144798)-sin(0.86138554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651339443708176-0.651386821066532)×R²
    abs(-0.42932287--0.42941875)×4.73773583558046e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73773583558046e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73773583558046e-05×40589641000000     		ar = 158281.188855431m²