Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28288 / 43667
↖ ↑ ↗
← S 51.244725°
W 24.609375°		 ← 382.35 m → S 51.244725°
W 24.603882°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
S 51.248163°
W 24.609375°		 ← 382.32 m →
146 176 m²		 S 51.248163°
W 24.603882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431648254394531 y=0.666313171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431648254394531 × 216)
    floor (0.431648254394531 × 65536)
    floor (28288.5)     		tx = 28288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666313171386719 × 216)
    floor (0.666313171386719 × 65536)
    floor (43667.5)     		ty = 43667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28288 / 43667 ti = "16/28288/43667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28288/43667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28288 ÷ 216
    28288 ÷ 65536     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43667 ÷ 216
    43667 ÷ 65536     		y = 0.666305541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666305541992188 × 2 - 1) × π
    -0.332611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04492853791798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04492853791798))-π/2
    2×atan(0.351716952905744)-π/2
    2×0.33820357919534-π/2
    0.67640715839068-1.57079632675     		φ = -0.89438917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89438917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.244725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28288 KachelY 43667 -0.42951462 -0.89438917 -24.609375 -51.244725
    Oben rechts KachelX + 1 28289 KachelY 43667 -0.42941875 -0.89438917 -24.603882 -51.244725
    Unten links KachelX 28288 KachelY + 1 43668 -0.42951462 -0.89444918 -24.609375 -51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 28289 KachelY + 1 43668 -0.42941875 -0.89444918 -24.603882 -51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89438917--0.89444918) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89438917--0.89444918) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42941875) × cos(-0.89438917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		do = 382.350257913297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42941875) × cos(-0.89444918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 382.321673939606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89438917)-sin(-0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625995274779823-0.625948476243417)×R²
    abs(-0.42941875--0.42951462)×4.67985364064338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67985364064338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67985364064338e-05×40589641000000     		ar = 146176.105003531m²