Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28286 / 8012
↖ ↑ ↗
← N 79.355532°
W 24.620361°		 ← 112.83 m → N 79.355532°
W 24.614868°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
N 79.354517°
W 24.620361°		 ← 112.84 m →
12 732 m²		 N 79.354517°
W 24.614868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431617736816406 y=0.122261047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431617736816406 × 216)
    floor (0.431617736816406 × 65536)
    floor (28286.5)     		tx = 28286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122261047363281 × 216)
    floor (0.122261047363281 × 65536)
    floor (8012.5)     		ty = 8012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28286 / 8012 ti = "16/28286/8012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28286/8012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28286 ÷ 216
    28286 ÷ 65536     		x = 0.431610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8012 ÷ 216
    8012 ÷ 65536     		y = 0.12225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12225341796875 × 2 - 1) × π
    0.7554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37345177398822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42970637} λ = -0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37345177398822))-π/2
    2×atan(10.7343810662712)-π/2
    2×1.47790581709874-π/2
    2.95581163419747-1.57079632675     		φ = 1.38501531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38501531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.355532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28286 KachelY 8012 -0.42970637 1.38501531 -24.620361 79.355532
    Oben rechts KachelX + 1 28287 KachelY 8012 -0.42961049 1.38501531 -24.614868 79.355532
    Unten links KachelX 28286 KachelY + 1 8013 -0.42970637 1.38499760 -24.620361 79.354517
    Unten rechts KachelX + 1 28287 KachelY + 1 8013 -0.42961049 1.38499760 -24.614868 79.354517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38501531-1.38499760) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38501531-1.38499760) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42970637--0.42961049) × cos(1.38501531) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184714167067534 × 6371000     		do = 112.832922330161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42970637--0.42961049) × cos(1.38499760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.184731572289942 × 6371000     		du = 112.843554336029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38501531)-sin(1.38499760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184714167067534-0.184731572289942)×R²
    abs(-0.42961049--0.42970637)×1.74052224085064e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.74052224085064e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.74052224085064e-05×40589641000000     		ar = 12731.584694982m²