Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28283 / 7981
↖ ↑ ↗
← N 79.386940°
W 24.636841°		 ← 112.49 m → N 79.386940°
W 24.631348°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.385928°
W 24.636841°		 ← 112.50 m →
12 657 m²		 N 79.385928°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431571960449219 y=0.121788024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431571960449219 × 216)
    floor (0.431571960449219 × 65536)
    floor (28283.5)     		tx = 28283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121788024902344 × 216)
    floor (0.121788024902344 × 65536)
    floor (7981.5)     		ty = 7981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28283 / 7981 ti = "16/28283/7981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28283/7981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28283 ÷ 216
    28283 ÷ 65536     		x = 0.431564331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7981 ÷ 216
    7981 ÷ 65536     		y = 0.121780395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431564331054688 × 2 - 1) × π
    -0.136871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42999399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121780395507812 × 2 - 1) × π
    0.756439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37642386176466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42999399} λ = -0.42999399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37642386176466))-π/2
    2×atan(10.7663320460648)-π/2
    2×1.47817990994787-π/2
    2.95635981989575-1.57079632675     		φ = 1.38556349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42999399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.636841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38556349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.386940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28283 KachelY 7981 -0.42999399 1.38556349 -24.636841 79.386940
    Oben rechts KachelX + 1 28284 KachelY 7981 -0.42989812 1.38556349 -24.631348 79.386940
    Unten links KachelX 28283 KachelY + 1 7982 -0.42999399 1.38554583 -24.636841 79.385928
    Unten rechts KachelX + 1 28284 KachelY + 1 7982 -0.42989812 1.38554583 -24.631348 79.385928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38556349-1.38554583) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38556349-1.38554583) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42999399--0.42989812) × cos(1.38556349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184175392266014 × 6371000     		do = 112.492077131031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42999399--0.42989812) × cos(1.38554583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184192750134639 × 6371000     		du = 112.502679104901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38556349)-sin(1.38554583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184175392266014-0.184192750134639)×R²
    abs(-0.42989812--0.42999399)×1.73578686253617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73578686253617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73578686253617e-05×40589641000000     		ar = 12657.2892573899m²