Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28282 / 7977
↖ ↑ ↗
← N 79.390986°
W 24.642334°		 ← 112.45 m → N 79.390986°
W 24.636841°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
N 79.389975°
W 24.642334°		 ← 112.46 m →
12 645 m²		 N 79.389975°
W 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431556701660156 y=0.121726989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431556701660156 × 216)
    floor (0.431556701660156 × 65536)
    floor (28282.5)     		tx = 28282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121726989746094 × 216)
    floor (0.121726989746094 × 65536)
    floor (7977.5)     		ty = 7977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28282 / 7977 ti = "16/28282/7977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28282/7977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28282 ÷ 216
    28282 ÷ 65536     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7977 ÷ 216
    7977 ÷ 65536     		y = 0.121719360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121719360351562 × 2 - 1) × π
    0.756561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37680735696162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37680735696162))-π/2
    2×atan(10.7704616744891)-π/2
    2×1.4782152184815-π/2
    2.956430436963-1.57079632675     		φ = 1.38563411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38563411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.390986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28282 KachelY 7977 -0.43008986 1.38563411 -24.642334 79.390986
    Oben rechts KachelX + 1 28283 KachelY 7977 -0.42999399 1.38563411 -24.636841 79.390986
    Unten links KachelX 28282 KachelY + 1 7978 -0.43008986 1.38561646 -24.642334 79.389975
    Unten rechts KachelX + 1 28283 KachelY + 1 7978 -0.42999399 1.38561646 -24.636841 79.389975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38563411-1.38561646) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38563411-1.38561646) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.42999399) × cos(1.38563411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184105979875296 × 6371000     		do = 112.449680891694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.42999399) × cos(1.38561646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184123328144551 × 6371000     		du = 112.460277002386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38563411)-sin(1.38561646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184105979875296-0.184123328144551)×R²
    abs(-0.42999399--0.43008986)×1.73482692556737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73482692556737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73482692556737e-05×40589641000000     		ar = 12645.3543409283m²