Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28282 / 14892
↖ ↑ ↗
← N 69.572896°
W 24.642334°		 ← 213.17 m → N 69.572896°
W 24.636841°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
N 69.570979°
W 24.642334°		 ← 213.19 m →
45 459 m²		 N 69.570979°
W 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431556701660156 y=0.227241516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431556701660156 × 216)
    floor (0.431556701660156 × 65536)
    floor (28282.5)     		tx = 28282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227241516113281 × 216)
    floor (0.227241516113281 × 65536)
    floor (14892.5)     		ty = 14892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28282 / 14892 ti = "16/28282/14892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28282/14892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28282 ÷ 216
    28282 ÷ 65536     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14892 ÷ 216
    14892 ÷ 65536     		y = 0.22723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22723388671875 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71384003521625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71384003521625))-π/2
    2×atan(5.55023370131162)-π/2
    2×1.39253621671611-π/2
    2.78507243343221-1.57079632675     		φ = 1.21427611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21427611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.572896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28282 KachelY 14892 -0.43008986 1.21427611 -24.642334 69.572896
    Oben rechts KachelX + 1 28283 KachelY 14892 -0.42999399 1.21427611 -24.636841 69.572896
    Unten links KachelX 28282 KachelY + 1 14893 -0.43008986 1.21424264 -24.642334 69.570979
    Unten rechts KachelX + 1 28283 KachelY + 1 14893 -0.42999399 1.21424264 -24.636841 69.570979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21427611-1.21424264) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21427611-1.21424264) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.42999399) × cos(1.21427611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349015388975861 × 6371000     		do = 213.174331128244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.42999399) × cos(1.21424264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349046754086115 × 6371000     		du = 213.193488553992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21427611)-sin(1.21424264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349015388975861-0.349046754086115)×R²
    abs(-0.42999399--0.43008986)×3.1365110253645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1365110253645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1365110253645e-05×40589641000000     		ar = 45458.7762652207m²