Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28281 / 7959
↖ ↑ ↗
← N 79.409175°
W 24.647827°		 ← 112.27 m → N 79.409175°
W 24.642334°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 79.408165°
W 24.647827°		 ← 112.28 m →
12 604 m²		 N 79.408165°
W 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431541442871094 y=0.121452331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431541442871094 × 216)
    floor (0.431541442871094 × 65536)
    floor (28281.5)     		tx = 28281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121452331542969 × 216)
    floor (0.121452331542969 × 65536)
    floor (7959.5)     		ty = 7959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28281 / 7959 ti = "16/28281/7959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28281/7959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28281 ÷ 216
    28281 ÷ 65536     		x = 0.431533813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7959 ÷ 216
    7959 ÷ 65536     		y = 0.121444702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431533813476562 × 2 - 1) × π
    -0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121444702148438 × 2 - 1) × π
    0.757110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37853308534795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43018574} λ = -0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37853308534795))-π/2
    2×atan(10.7890646131273)-π/2
    2×1.47837394228242-π/2
    2.95674788456483-1.57079632675     		φ = 1.38595156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38595156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.409175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28281 KachelY 7959 -0.43018574 1.38595156 -24.647827 79.409175
    Oben rechts KachelX + 1 28282 KachelY 7959 -0.43008986 1.38595156 -24.642334 79.409175
    Unten links KachelX 28281 KachelY + 1 7960 -0.43018574 1.38593394 -24.647827 79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 28282 KachelY + 1 7960 -0.43008986 1.38593394 -24.642334 79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38595156-1.38593394) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38595156-1.38593394) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43018574--0.43008986) × cos(1.38595156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.183793946967745 × 6371000     		do = 112.27080452028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43018574--0.43008986) × cos(1.38593394) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 112.281384352541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38595156)-sin(1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183793946967745-0.183811266778873)×R²
    abs(-0.43008986--0.43018574)×1.73198111281803e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.73198111281803e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.73198111281803e-05×40589641000000     		ar = 12603.7797789766m²