Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28278 / 14806
↖ ↑ ↗
← N 69.737140°
W 24.664307°		 ← 211.55 m → N 69.737140°
W 24.658813°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
N 69.735237°
W 24.664307°		 ← 211.57 m →
44 763 m²		 N 69.735237°
W 24.658813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431495666503906 y=0.225929260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431495666503906 × 216)
    floor (0.431495666503906 × 65536)
    floor (28278.5)     		tx = 28278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225929260253906 × 216)
    floor (0.225929260253906 × 65536)
    floor (14806.5)     		ty = 14806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28278 / 14806 ti = "16/28278/14806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28278/14806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28278 ÷ 216
    28278 ÷ 65536     		x = 0.431488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14806 ÷ 216
    14806 ÷ 65536     		y = 0.225921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225921630859375 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7220851819509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43047336} λ = -0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7220851819509))-π/2
    2×atan(5.59618537139653)-π/2
    2×1.39396951187402-π/2
    2.78793902374803-1.57079632675     		φ = 1.21714270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21714270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.737140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28278 KachelY 14806 -0.43047336 1.21714270 -24.664307 69.737140
    Oben rechts KachelX + 1 28279 KachelY 14806 -0.43037748 1.21714270 -24.658813 69.737140
    Unten links KachelX 28278 KachelY + 1 14807 -0.43047336 1.21710949 -24.664307 69.735237
    Unten rechts KachelX + 1 28279 KachelY + 1 14807 -0.43037748 1.21710949 -24.658813 69.735237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21714270-1.21710949) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21714270-1.21710949) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43047336--0.43037748) × cos(1.21714270) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.346327628466686 × 6371000     		do = 211.554744413871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43047336--0.43037748) × cos(1.21710949) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.346358783029189 × 6371000     		du = 211.573775224485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21714270)-sin(1.21710949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346327628466686-0.346358783029189)×R²
    abs(-0.43037748--0.43047336)×3.11545625036325e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.11545625036325e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.11545625036325e-05×40589641000000     		ar = 44762.958620079m²