Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28277 / 9197
↖ ↑ ↗
← N 78.083559°
W 24.669800°		 ← 126.12 m → N 78.083559°
W 24.664307°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
N 78.082425°
W 24.669800°		 ← 126.13 m →
15 910 m²		 N 78.082425°
W 24.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431480407714844 y=0.140342712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431480407714844 × 216)
    floor (0.431480407714844 × 65536)
    floor (28277.5)     		tx = 28277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140342712402344 × 216)
    floor (0.140342712402344 × 65536)
    floor (9197.5)     		ty = 9197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28277 / 9197 ti = "16/28277/9197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28277/9197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28277 ÷ 216
    28277 ÷ 65536     		x = 0.431472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9197 ÷ 216
    9197 ÷ 65536     		y = 0.140335083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431472778320312 × 2 - 1) × π
    -0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140335083007812 × 2 - 1) × π
    0.719329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25984132188869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43056923} λ = -0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25984132188869))-π/2
    2×atan(9.58156866091354)-π/2
    2×1.46680576379049-π/2
    2.93361152758099-1.57079632675     		φ = 1.36281520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36281520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.083559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28277 KachelY 9197 -0.43056923 1.36281520 -24.669800 78.083559
    Oben rechts KachelX + 1 28278 KachelY 9197 -0.43047336 1.36281520 -24.664307 78.083559
    Unten links KachelX 28277 KachelY + 1 9198 -0.43056923 1.36279540 -24.669800 78.082425
    Unten rechts KachelX + 1 28278 KachelY + 1 9198 -0.43047336 1.36279540 -24.664307 78.082425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36281520-1.36279540) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36281520-1.36279540) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43056923--0.43047336) × cos(1.36281520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206484955954513 × 6371000     		do = 126.118485786002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43056923--0.43047336) × cos(1.36279540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206504329219589 × 6371000     		du = 126.130318739376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36281520)-sin(1.36279540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206484955954513-0.206504329219589)×R²
    abs(-0.43047336--0.43056923)×1.9373265076339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9373265076339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9373265076339e-05×40589641000000     		ar = 15910.0636237271m²