Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28277 / 22418
↖ ↑ ↗
← N 49.317961°
W 24.669800°		 ← 398.15 m → N 49.317961°
W 24.664307°		 →
↑
398.19 m
↓
↑
398.19 m
↓
N 49.314380°
W 24.669800°		 ← 398.18 m →
158 544 m²		 N 49.314380°
W 24.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431480407714844 y=0.342079162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431480407714844 × 216)
    floor (0.431480407714844 × 65536)
    floor (28277.5)     		tx = 28277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342079162597656 × 216)
    floor (0.342079162597656 × 65536)
    floor (22418.5)     		ty = 22418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28277 / 22418 ti = "16/28277/22418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28277/22418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28277 ÷ 216
    28277 ÷ 65536     		x = 0.431472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22418 ÷ 216
    22418 ÷ 65536     		y = 0.342071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431472778320312 × 2 - 1) × π
    -0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342071533203125 × 2 - 1) × π
    0.31585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992293822135162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43056923} λ = -0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992293822135162))-π/2
    2×atan(2.69741477109602)-π/2
    2×1.21577856291451-π/2
    2.43155712582902-1.57079632675     		φ = 0.86076080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86076080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.317961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28277 KachelY 22418 -0.43056923 0.86076080 -24.669800 49.317961
    Oben rechts KachelX + 1 28278 KachelY 22418 -0.43047336 0.86076080 -24.664307 49.317961
    Unten links KachelX 28277 KachelY + 1 22419 -0.43056923 0.86069830 -24.669800 49.314380
    Unten rechts KachelX + 1 28278 KachelY + 1 22419 -0.43047336 0.86069830 -24.664307 49.314380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86076080-0.86069830) × R
    6.24999999999654e-05 × 6371000     		dl = 398.187499999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86076080-0.86069830) × R
    6.24999999999654e-05 × 6371000     		dr = 398.187499999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43056923--0.43047336) × cos(0.86076080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651860712777 × 6371000     		do = 398.148551107665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43056923--0.43047336) × cos(0.86069830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651908107673675 × 6371000     		du = 398.177499330915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86076080)-sin(0.86069830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651860712777-0.651908107673675)×R²
    abs(-0.43047336--0.43056923)×4.7394896675379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7394896675379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7394896675379e-05×40589641000000     		ar = 158543.539656162m²