Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28276 / 8276
↖ ↑ ↗
← N 79.084302°
W 24.675293°		 ← 115.67 m → N 79.084302°
W 24.669800°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
N 79.083261°
W 24.675293°		 ← 115.68 m →
13 384 m²		 N 79.083261°
W 24.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431465148925781 y=0.126289367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431465148925781 × 216)
    floor (0.431465148925781 × 65536)
    floor (28276.5)     		tx = 28276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126289367675781 × 216)
    floor (0.126289367675781 × 65536)
    floor (8276.5)     		ty = 8276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28276 / 8276 ti = "16/28276/8276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28276/8276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28276 ÷ 216
    28276 ÷ 65536     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8276 ÷ 216
    8276 ÷ 65536     		y = 0.12628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12628173828125 × 2 - 1) × π
    0.7474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34814109098883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34814109098883))-π/2
    2×atan(10.4660961101255)-π/2
    2×1.47553888807691-π/2
    2.95107777615382-1.57079632675     		φ = 1.38028145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38028145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.084302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28276 KachelY 8276 -0.43066511 1.38028145 -24.675293 79.084302
    Oben rechts KachelX + 1 28277 KachelY 8276 -0.43056923 1.38028145 -24.669800 79.084302
    Unten links KachelX 28276 KachelY + 1 8277 -0.43066511 1.38026329 -24.675293 79.083261
    Unten rechts KachelX + 1 28277 KachelY + 1 8277 -0.43056923 1.38026329 -24.669800 79.083261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38028145-1.38026329) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38028145-1.38026329) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43056923) × cos(1.38028145) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.189364481114245 × 6371000     		do = 115.67357354806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43056923) × cos(1.38026329) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.189382312511704 × 6371000     		du = 115.684465883588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38028145)-sin(1.38026329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189364481114245-0.189382312511704)×R²
    abs(-0.43056923--0.43066511)×1.78313974588395e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.78313974588395e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.78313974588395e-05×40589641000000     		ar = 13383.7571887113m²