Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28275 / 9195
↖ ↑ ↗
← N 78.085828°
W 24.680786°		 ← 126.09 m → N 78.085828°
W 24.675293°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
N 78.084694°
W 24.680786°		 ← 126.11 m →
15 899 m²		 N 78.084694°
W 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431449890136719 y=0.140312194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431449890136719 × 216)
    floor (0.431449890136719 × 65536)
    floor (28275.5)     		tx = 28275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140312194824219 × 216)
    floor (0.140312194824219 × 65536)
    floor (9195.5)     		ty = 9195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28275 / 9195 ti = "16/28275/9195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28275/9195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28275 ÷ 216
    28275 ÷ 65536     		x = 0.431442260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9195 ÷ 216
    9195 ÷ 65536     		y = 0.140304565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431442260742188 × 2 - 1) × π
    -0.137115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43076098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140304565429688 × 2 - 1) × π
    0.719390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26003306948717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43076098} λ = -0.43076098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26003306948717))-π/2
    2×atan(9.58340607984865)-π/2
    2×1.46682555843068-π/2
    2.93365111686136-1.57079632675     		φ = 1.36285479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43076098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.680786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36285479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.085828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28275 KachelY 9195 -0.43076098 1.36285479 -24.680786 78.085828
    Oben rechts KachelX + 1 28276 KachelY 9195 -0.43066511 1.36285479 -24.675293 78.085828
    Unten links KachelX 28275 KachelY + 1 9196 -0.43076098 1.36283500 -24.680786 78.084694
    Unten rechts KachelX + 1 28276 KachelY + 1 9196 -0.43066511 1.36283500 -24.675293 78.084694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36285479-1.36283500) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36285479-1.36283500) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43076098--0.43066511) × cos(1.36285479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206446218966096 × 6371000     		do = 126.094825707231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43076098--0.43066511) × cos(1.36283500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206465582608486 × 6371000     		du = 126.106652783185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36285479)-sin(1.36283500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206446218966096-0.206465582608486)×R²
    abs(-0.43066511--0.43076098)×1.93636423900245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93636423900245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93636423900245e-05×40589641000000     		ar = 15899.0447551577m²