Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28272 / 7951
↖ ↑ ↗
← N 79.417249°
W 24.697266°		 ← 112.17 m → N 79.417249°
W 24.691773°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
N 79.416240°
W 24.697266°		 ← 112.19 m →
12 586 m²		 N 79.416240°
W 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431404113769531 y=0.121330261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431404113769531 × 216)
    floor (0.431404113769531 × 65536)
    floor (28272.5)     		tx = 28272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121330261230469 × 216)
    floor (0.121330261230469 × 65536)
    floor (7951.5)     		ty = 7951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28272 / 7951 ti = "16/28272/7951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28272/7951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28272 ÷ 216
    28272 ÷ 65536     		x = 0.431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7951 ÷ 216
    7951 ÷ 65536     		y = 0.121322631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121322631835938 × 2 - 1) × π
    0.757354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37930007574187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43104860} λ = -0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37930007574187))-π/2
    2×atan(10.797342896321)-π/2
    2×1.47844439981575-π/2
    2.95688879963149-1.57079632675     		φ = 1.38609247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38609247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.417249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28272 KachelY 7951 -0.43104860 1.38609247 -24.697266 79.417249
    Oben rechts KachelX + 1 28273 KachelY 7951 -0.43095273 1.38609247 -24.691773 79.417249
    Unten links KachelX 28272 KachelY + 1 7952 -0.43104860 1.38607486 -24.697266 79.416240
    Unten rechts KachelX + 1 28273 KachelY + 1 7952 -0.43095273 1.38607486 -24.691773 79.416240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38609247-1.38607486) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38609247-1.38607486) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43104860--0.43095273) × cos(1.38609247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183655435574493 × 6371000     		do = 112.174493942921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43104860--0.43095273) × cos(1.38607486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183672746011926 × 6371000     		du = 112.185066946398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38609247)-sin(1.38607486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183655435574493-0.183672746011926)×R²
    abs(-0.43095273--0.43104860)×1.73104374329991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73104374329991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73104374329991e-05×40589641000000     		ar = 12585.8208836754m²