Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28271 / 43671
↖ ↑ ↗
← S 51.258477°
W 24.702759°		 ← 382.28 m → S 51.258477°
W 24.697266°		 →
↑
382.20 m
↓
↑
382.20 m
↓
S 51.261915°
W 24.702759°		 ← 382.25 m →
146 099 m²		 S 51.261915°
W 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431388854980469 y=0.666374206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431388854980469 × 216)
    floor (0.431388854980469 × 65536)
    floor (28271.5)     		tx = 28271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666374206542969 × 216)
    floor (0.666374206542969 × 65536)
    floor (43671.5)     		ty = 43671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28271 / 43671 ti = "16/28271/43671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28271/43671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28271 ÷ 216
    28271 ÷ 65536     		x = 0.431381225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43671 ÷ 216
    43671 ÷ 65536     		y = 0.666366577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431381225585938 × 2 - 1) × π
    -0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666366577148438 × 2 - 1) × π
    -0.332733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04531203311494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43114448} λ = -0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04531203311494))-π/2
    2×atan(0.351582097003563)-π/2
    2×0.338083564052405-π/2
    0.67616712810481-1.57079632675     		φ = -0.89462920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89462920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.258477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28271 KachelY 43671 -0.43114448 -0.89462920 -24.702759 -51.258477
    Oben rechts KachelX + 1 28272 KachelY 43671 -0.43104860 -0.89462920 -24.697266 -51.258477
    Unten links KachelX 28271 KachelY + 1 43672 -0.43114448 -0.89468919 -24.702759 -51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 28272 KachelY + 1 43672 -0.43104860 -0.89468919 -24.697266 -51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89462920--0.89468919) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dl = 382.196290000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89462920--0.89468919) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dr = 382.196290000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43114448--0.43104860) × cos(-0.89462920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625808074909648 × 6371000     		do = 382.27578875448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43114448--0.43104860) × cos(-0.89468919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625761282958258 × 6371000     		du = 382.247205821722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89462920)-sin(-0.89468919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625808074909648-0.625761282958258)×R²
    abs(-0.43104860--0.43114448)×4.67919513899018e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67919513899018e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67919513899018e-05×40589641000000     		ar = 146098.926117257m²