Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28271 / 15057
↖ ↑ ↗
← N 69.254203°
W 24.702759°		 ← 216.38 m → N 69.254203°
W 24.697266°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 69.252258°
W 24.702759°		 ← 216.40 m →
46 817 m²		 N 69.252258°
W 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431388854980469 y=0.229759216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431388854980469 × 216)
    floor (0.431388854980469 × 65536)
    floor (28271.5)     		tx = 28271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229759216308594 × 216)
    floor (0.229759216308594 × 65536)
    floor (15057.5)     		ty = 15057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28271 / 15057 ti = "16/28271/15057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28271/15057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28271 ÷ 216
    28271 ÷ 65536     		x = 0.431381225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15057 ÷ 216
    15057 ÷ 65536     		y = 0.229751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431381225585938 × 2 - 1) × π
    -0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229751586914062 × 2 - 1) × π
    0.540496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69802085834163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43114448} λ = -0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69802085834163))-π/2
    2×atan(5.46312438807001)-π/2
    2×1.38975509949611-π/2
    2.77951019899222-1.57079632675     		φ = 1.20871387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20871387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.254203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28271 KachelY 15057 -0.43114448 1.20871387 -24.702759 69.254203
    Oben rechts KachelX + 1 28272 KachelY 15057 -0.43104860 1.20871387 -24.697266 69.254203
    Unten links KachelX 28271 KachelY + 1 15058 -0.43114448 1.20867991 -24.702759 69.252258
    Unten rechts KachelX + 1 28272 KachelY + 1 15058 -0.43104860 1.20867991 -24.697266 69.252258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20871387-1.20867991) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dl = 216.35915999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20871387-1.20867991) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dr = 216.35915999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43114448--0.43104860) × cos(1.20871387) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.354222432725649 × 6371000     		do = 216.377297279646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43114448--0.43104860) × cos(1.20867991) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.354254190595702 × 6371000     		du = 216.39669662157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20871387)-sin(1.20867991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354222432725649-0.354254190595702)×R²
    abs(-0.43104860--0.43114448)×3.17578700533838e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.17578700533838e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.17578700533838e-05×40589641000000     		ar = 46817.3088996438m²