Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28270 / 14870
↖ ↑ ↗
← N 69.615033°
W 24.708252°		 ← 212.75 m → N 69.615033°
W 24.702759°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 69.613119°
W 24.708252°		 ← 212.77 m →
45 274 m²		 N 69.613119°
W 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431373596191406 y=0.226905822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431373596191406 × 216)
    floor (0.431373596191406 × 65536)
    floor (28270.5)     		tx = 28270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226905822753906 × 216)
    floor (0.226905822753906 × 65536)
    floor (14870.5)     		ty = 14870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28270 / 14870 ti = "16/28270/14870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28270/14870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28270 ÷ 216
    28270 ÷ 65536     		x = 0.431365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14870 ÷ 216
    14870 ÷ 65536     		y = 0.226898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226898193359375 × 2 - 1) × π
    0.54620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71594925879953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43124035} λ = -0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71594925879953))-π/2
    2×atan(5.56195273981869)-π/2
    2×1.39290392890322-π/2
    2.78580785780643-1.57079632675     		φ = 1.21501153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21501153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.615033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28270 KachelY 14870 -0.43124035 1.21501153 -24.708252 69.615033
    Oben rechts KachelX + 1 28271 KachelY 14870 -0.43114448 1.21501153 -24.702759 69.615033
    Unten links KachelX 28270 KachelY + 1 14871 -0.43124035 1.21497813 -24.708252 69.613119
    Unten rechts KachelX + 1 28271 KachelY + 1 14871 -0.43114448 1.21497813 -24.702759 69.613119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21501153-1.21497813) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21501153-1.21497813) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43124035--0.43114448) × cos(1.21501153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348326120077927 × 6371000     		do = 212.753334115145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43124035--0.43114448) × cos(1.21497813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348357428155602 × 6371000     		du = 212.772456706091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21501153)-sin(1.21497813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348326120077927-0.348357428155602)×R²
    abs(-0.43114448--0.43124035)×3.13080776753183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13080776753183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13080776753183e-05×40589641000000     		ar = 45274.1143865671m²