Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28270 / 14796
↖ ↑ ↗
← N 69.756156°
W 24.708252°		 ← 211.34 m → N 69.756156°
W 24.702759°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
N 69.754255°
W 24.708252°		 ← 211.36 m →
44 678 m²		 N 69.754255°
W 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431373596191406 y=0.225776672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431373596191406 × 216)
    floor (0.431373596191406 × 65536)
    floor (28270.5)     		tx = 28270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225776672363281 × 216)
    floor (0.225776672363281 × 65536)
    floor (14796.5)     		ty = 14796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28270 / 14796 ti = "16/28270/14796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28270/14796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28270 ÷ 216
    28270 ÷ 65536     		x = 0.431365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14796 ÷ 216
    14796 ÷ 65536     		y = 0.22576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22576904296875 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43124035} λ = -0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7230439199433))-π/2
    2×atan(5.60155321969349)-π/2
    2×1.39413545596328-π/2
    2.78827091192656-1.57079632675     		φ = 1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28270 KachelY 14796 -0.43124035 1.21747459 -24.708252 69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 28271 KachelY 14796 -0.43114448 1.21747459 -24.702759 69.756156
    Unten links KachelX 28270 KachelY + 1 14797 -0.43124035 1.21744141 -24.708252 69.754255
    Unten rechts KachelX + 1 28271 KachelY + 1 14797 -0.43114448 1.21744141 -24.702759 69.754255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21747459-1.21744141) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21747459-1.21744141) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43124035--0.43114448) × cos(1.21747459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 211.342499137221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43124035--0.43114448) × cos(1.21744141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346047389098871 × 6371000     		du = 211.361513102017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21747459)-sin(1.21744141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.346047389098871)×R²
    abs(-0.43114448--0.43124035)×3.11302316947648e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11302316947648e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11302316947648e-05×40589641000000     		ar = 44677.654080132m²